Цікаві факти

Історія виникнення та вивчення тіл обертання

Початкові відомості про властивості геометричних тіл люди знайшли, спостерігаючи навколишній світ і в результаті практичної діяльності. 

До Фалеса в світі геометрією майже ніхто не займався. У геометричних фігур не було назв. Тому люди почали вигадувати їм свої назви.

Ялинкова шишка з грецької означає слово "конос" (рис. 1). Тому тіла такої форми отримали назву конус.

Конус - тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів (рис. 2).

Рис. 1. Шишка

Рис. 2. Конус

М'яч з грецької має назву "сфера". Тому фігура, яка обмежує кругле тіло обертання і називається сферою (рис. 3).

Рис. 3. Сфера

Рис. 4. Куля

Куля – тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра (рис. 4).

Валик чи каток був дуже схожий на сучасну фігуру циліндр. Тому з грецької мови "каток", "валик" означають тіло обертання - циліндр (рис. 5).

Циліндр - тривимірна фігура, що утворена прямокутником, який обертається навколо однієї зі своїх сторін (рис. 6).

Рис. 5. Валик

Рис. 6. Циліндр

Геометрія в ранній період свого розвитку досягла особливо високого рівня в Єгипті. Ученим того часу вдалося дістати ряд визначних результатів. Насамперед обчислення об'єму правильної чотирикутної зрізаної піраміди (задача №14 Московського папірусу). Хоча не вдалося точно  перекласти текст і розвязання задачі №10 з Московського папірусу, в якій обчислюється об'єм кошика, що має форму половини кулі з отвором 4,5. Одні вважають, що в задачі йдеться про точне обчислення поверхні півкулі, другі - бічної поверхні циліндра, треті - наближене обчислення об'єму круглоподібного зерносховища. В усіх випадках, це було визначне досягнення того часу.

Рис. 7. Евклід

У першому тисячолітті до нашої ери геометричні відомості від єгиптян перейшли до греків. За період з VII по III століття до нашої ери грецькі геометри не тільки збагатили геометрію численними новими теоремами, але зробили також серйозні кроки до суворого її обгрунтування. Багатовікова робота грецьких вчених за цей період була підсумована Евклідом в його знаменитій праці «Початки».

Евклід добре знав філософію Платона (саме тому він закінчив «Початки». З ім'ям Евкліда пов'язують становлення олександрійської математики (геометричної алгебри) як науки. В XI дається таке визначення: якщо прямокутний трикутник обертається близько одного зі своїх катетів зліва і повернеться в той же самий стан, з якого він почав рухатися, то описана фігура буде конусом. Нерухомий катет, навколо якого обертається трикутник, називається віссю конуса, а коло, описуване обертовим катетом, називається підставою конуса. Евклід розглядає тільки прямі конуси, тобто такі, у яких вісь перпендикулярна до основи, лише Аполлоній розрізняє прямі і косі конуси, у яких вісь утворює з основою кут, відмінний від прямого.

У XII книзі "Початки" Евкліда містяться наступні теореми про конус: 

• Обсяг конуса дорівнює однієї третини обсягу циліндра з рівною основою і рівною висотою; доказ цієї теореми належить Евдоксу Книдской.
• Відношення обсягів двох конусів з рівними основ дорівнює відношенню відповідних висот.
• Якщо два конуса рівновеликі, то площі їх підстав обернено пропорційні відповідним висотам і навпаки.

Багато древніх вчених зосереджували свою увагу на дослідженні конуса.

Рис. 8. Апполоній Пергський

Аполлоній Пергський давньогрецький математик і астроном, учень Евкліда дав повний перелік його праць«Кінцеві перетини» у восьми підручниках. В залежності від взаємного розташування конуса і січної площини отримують три типи фігур: параболу, еліпс, гіперболу. У Евкліда немає поняття конічної поверхні, воно було введено Аполлонієм в його "Конічних перетинах", при цьому він мав на увазі обидві площині конуса. Ось що пише Аполлоній Пергський: "Якщо від будь-якої точки окружності кола, який не знаходиться в одній площині з деякою точкою, проводити прямі, що з'єднують цю точку з колом, і при нерухомості точки переміщати пряму по колу, повертаючи її туди, звідки почалося рух, то поверхню, описану прямий і складену з 2 поверхонь, що лежать в вершині один проти одного, з яких кожна нескінченно збільшується, якщо нескінченно продовжувати описує пряму, я називаю конічною поверхнею, нерухому ж точку - її вершиною, а віссю - пряму, проведену через цю точку і центр кола". 

Рис. 9. Евдокс Кнідський

Історія виникнення та вивчення тіл обертання

Початкові відомості про властивості геометричних тіл люди знайшли, спостерігаючи навколишній світ і в результаті практичної діяльності. 

До Фалеса в світі геометрією майже ніхто не займався. У геометричних фігур не було назв. Тому люди почали вигадувати їм свої назви.