Моя тема

Нехай деякий плоский опуклий многокутник АBCDK обертається навколо нерухомої прямої, що містить сторону АВ (мал. 481). Тоді кожна точка, що належить многокутнику, крім точок, що належать стороні АВ, описує коло, центр якого належить прямій АВ. При цьому весь многокутник АВСDК описує тіло обертання, пряму АВ називають віссю обертання цього тіла.

Площина, що проходить через вісь тіла обертання, перетинає його по деякій фігурі. Цю фігуру називають осьовим перерізом.

Осьовим перерізом тіла обертання, що зображено на малюнку 481 є многокутник СDКК₁D₁С₁.

Поверхню, утворену обертанням ламаної ВСDКА навколо прямої АВ називають поверхнею обертання.

Якщо тіло обертання, що утворене обертанням многокутника АВСDК перетнути площиною перпендикулярною прямій АВ, то в перерізі отримаємо круг, центр якого належить прямій АВ.

Таким чином приходимо до означення тіла обертання (у найпростішому випадку), яким будемо користуватись у шкільному курсі геометрії.

Тілом обертання називають таке тіло, яке площинами, перпендикулярними до деякої прямої (осі обертання), перетинається по кругах з центрами на цій прямій.

В загальному виді: тілом обертання називають геометричне тіло, утворене обертанням деякої плоскої фігури навколо фіксованої прямої, яку називають віссю обертання.

Прикладами тіл обертання у побуті є іграшки (наприклад, матрьошка, м’яч), бочки, діжки тощо (мал. 482).

Циліндр — це тіло обертання, яке виходить при обертанні прямокутника навколо його сторони.

Прямокутник AOO1A1 обертається навколо сторони OO1.
OO1 — вісь симетрії циліндра і висота циліндра.
AA1 — твірна циліндра, довжина якої дорівнює довжині висоти циліндра.
AO — радіус циліндра.

Отримана циліндрична поверхня називається бічною поверхнею циліндра, а кола — основами циліндра.

Осьовий переріз циліндра — це перетин циліндра площиною, яка проходить через вісь циліндра. Цей переріз є прямокутником.

При перерізі циліндра площиною, паралельною осі циліндра (тобто перпендикулярною основі), також виходить прямокутник.

На малюнку зображений циліндр, перетнутий площиною, яка паралельна осі циліндра OO1.

ABB1A1 — прямокутник.
OA=AB=R — радіуси.

OC — відстань від осі циліндра до площини перерізу.
Дуга AB дорівнює центральному куту AOB.

При перерізі циліндра площиною, паралельною основі, в перерізі отримуємо коло, що дорівнює основам циліндра.

Якщо уявити, що бічна циліндрична поверхня розрізана за твірною AA1 і розгорнута, отримуємо прямокутник.

Сторона AA1 дорівнює висоті H, а іншу сторону утворює розгорнута окружність основи довжиною 2πR.

Так як розгортка — прямокутник, то бічна поверхня визначається за формулою:

Sбіч.=2πR⋅H

Основи циліндра — два кола із загальною площею 2⋅πR2.

Повна поверхня циліндра визначається за формулою:

Sповн.=2πRH+2πR2=2πR⋅(H+R)